Question

f（x）=x²-2ax+2，若?x∈[-1，1]，都?θ∈R，f（x）≥2log₂（sinθ+cosθ），求a的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据两角和的正弦公式容易求得2log₂（sinθ+cosθ）的最大值为1，所以只要f_min（x）≥1即可，所以讨论f（x）的对称轴x=a和区间[-1，1]的关系求出f（x）的最小值，从而求得a的范围．

解答： 解：sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)≤

2

；
∴2log₂（sinθ+cosθ）≤1；
∴f_min（x）≥1；
f（x）对称轴为x=a；
∴①若a≤-1，则f（x）在[-1，1]上单调递增；
∴f_min（x）=f（-1）=3+2a≥1；
∴a≥-1；
∴a=-1；
②若-1＜a＜1，则：
fmin(x)=f(a)=-a2+2≥1；
解得-1≤a≤1；
∴-1＜a＜1；
③若a≥1，则f（x）在[-1，1]上单调递减；
∴f_min（x）=f（1）=3-2a≥1；
解得a≤1；
∴a=1；
综上得a的范围为[-1，1]．

点评：考查两角和的正弦公式，对数函数的单调性，以及二次函数的单调性，顶点，及最小值的求解过程．