Question

已知正实数x满足方程2t³-t²x+2t（x+1）-x-x²=0，

a

=（1，x），

b

=（-3，2），

c

=

a

+t

b

，则

a

•

c

取最小值m时，m和x的值分别为（　　）

• A、m=

  23

  32

  ，x=

  3

  16

• B、m=

  23

  32

  ，x=

  3

  8

• C、m=-

  7

  2

  ，x=

  3

  4

• D、m=-

  7

  2

  ，x=

  3

  2

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：先化简方程2t³-t²x+2t（x+1）-x-x²=0，可得x=2t，再利用向量的数量积公式，结合配方法，可得结论．

解答： 解：∵2t³-t²x+2t（x+1）-x-x²=0，
∴2t（t²+x+1）-x（t²+x+1）=0
∴（x-2t）（t²+x+1）=0
∵x＞0，∴x=2t
∵

a

=（1，x），

b

=（-3，2），
∴

c

=

a

+t

b

=（1-3t，x+2t）
∴

a

•

c

=m=1-3t+x²+2tx=8t²-3t+1
当t=

3

16

时，m取得最小值

23

32

，此时x=

3

8

故选B．

点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用向量的数量积公式是关键．