Question

已知{a_n}是递增的等差数列，它的前三项的和为-3，前三项的积为8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：计算题

分析：（1）依题意，解方程组

a1+(a1+d)+(a1+2d)=-3 a1•(a1+d)•(a1+2d)=8

即可求得数列{a_n}的首项与公差，再利用{a_n}是递增的等差数列进行取舍，即可求得答案；
（2）由（1）得当n≥3时，a_n＞0，|a_n|=a_n，通过对n=1与n=2及n≥3的情况的讨论即可求得S_n．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d（d＞0），依题意，

a1+(a1+d)+(a1+2d)=-3 a1•(a1+d)•(a1+2d)=8

…（2分），
即

a1+d=-1 a1•(a1+2d)=-8

，解得

a1=-4 d=3

或

a1=2 d=-3

…（4分），
因为d＞0，所以

a1=-4 d=3

，{a_n}的通项a_n=-7+3n…（5分）
（2）由（1）得a₁=-4，|a₁|=4；a₂=-1，|a₂|=1…（6分）；
当n≥3时，a_n＞0，|a_n|=a_n…（7分），
所以S₁=4，S₂=5…（8分）
当n≥3时，S_n=S₂+（a₃+…a_n）=5+[2+…+（-7+3n）]…（9分）
=5+

2+(-7+3n)

2

×（n-2）
=

3

2

n²-

11

2

n+10…（11分），
综上所述，S_n=

4，n=1 5，n=2 3 2 n2- 11 2 n+10，n≥3

…（12分）．

点评：本题考查含有绝对值的数列的求和，通过对n的取值情况的分类讨论，去掉数列{|a_n|}的前n项和式S_n中的绝对值符号是关键，也是难点，属于中档题．