Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，${a}_{n}={（-1）}^{n}（2n-1）$，n∈N^*．
（Ⅰ）求S₁，S₂，S₃；
（Ⅱ）由（Ⅰ）推测S_n的公式，并用数学归纳法证明你的推测．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据a_n=（-1）ⁿ（2n-1），可求S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想S_n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．

解答 解：（1）依题设可得S₁=-1，S₂=-1+3=2，S₃=-1+3-5=-3，
（Ⅱ）猜想：${S}_{n}={（-1）}^{n}n$，
证明：①当n=1时，猜想显然成立
②假设n=k时，猜想成立，即${S}_{k}={（-1）}^{k}k$…（7分）
当n=k+1时，S_k+1=（-1）^k•k+a_k+1=（-1）^k•k+（-1）^k+1（2k+1）=（-1）^k+1•（k+1），
即n=k+1时，猜想也成立，
由①和②，可知，对于一切n∈N^*，猜想成立

点评 本题考查数列的性质和应用，第（Ⅰ）问要注意递推公式的灵活运用，第二问要注意数学归纳法的证明技巧．