Question

12．某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：
（1）记事件A为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g的小龙虾”，求P（A）的估计值；
（2）若购进这批小龙虾100千克，试估计这批小龙虾的数量；
（3）为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这40只小龙虾分成三个等级，如下表：

等级	一等品	二等品	三等品
重量（g）	[5，25）	[25，45）	[45，55]

按分层抽样抽取10只，再随机抽取3只品尝，记X为抽到二等品的数量，求抽到二级品的期望．

Answer 1

分析 （1）由于40只小龙虾中重量不超过35g的小龙虾有6+10+12（只），利用古典概率计算公式即可得出．
（2）求出其平均数，可得从统计图中可以估计每只小龙虾的重量．
（3）由题意知抽取一等品、二等品、三等品分别为4只、5只、1只，X=0，1，2，3．利用超几何分布列的概率
的计算公式即可得出．

解答 解：（1）由于40只小龙虾中重量不超过35g的小龙虾有6+10+12=28（只）
所以$P（A）=\frac{28}{40}=\frac{7}{10}$．
（2）从统计图中可以估计每只小龙虾的重量$\frac{1}{40}（6×10+10×20+12×30+8×40+4×50）$
=$\frac{1140}{40}=28.5$（克）
所以购进100千克，小龙虾的数量约有100000÷28.5≈3509（只）
（3）由题意知抽取一等品、二等品、三等品分别为4只、5只、1只，X=0，1，2，3
则可得$P（X=0）=\frac{C_5^0C_5^3}{{C_{10}^3}}=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$，$P（X=1）=\frac{C_5^1C_5^2}{{C_{10}^3}}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$，
$P（X=2）=\frac{C_5^2C_5^1}{{C_{10}^3}}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$，$P（X=3）=\frac{C_5^3C_5^0}{{C_{10}^3}}=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$
所以$E（X）=0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{5}{12}+3×\frac{1}{12}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了超几何分布列及其数学期望、古典概率计算公式、平均数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．