Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（Ⅱ） 设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n，并求满足T_n＜55的最大正整数n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）①“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”，再利用等比数列的通项公式即可得出；
②在数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．可得b_n+1-b_n=2．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）再利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）①当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∵S_n=2a_n-2，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2．
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
化为

an

an-1

=2．
∴数列{a_n}是等比数列．
∴an=a1qn-1=2×2^n-1=2ⁿ．
②数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
∴b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2．
∴数列{b_n}是等差数列，
∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（II）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2²+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2×

4×(2n-1-1)

2-1

-(2n-1)•2n+1
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．
由T_n＜55可得（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6＜55，化为（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜49．
当n=3时，左边=（2×3-3）×2⁴=48＜49=右边，
而当n=4时，左边=（2×4-3）×2⁵=5×32＞49=右边．
因此满足T_n＜55的最大正整数n=3．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．