Question

设A（1，0），B（0，1），直线l：y=ax，圆C：（x-a）²+y²=1．若圆C既与线段AB又与直线l有公共点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：根据圆的圆心坐标和半径，首先分析得到使圆C：（x-a）²+y²=1与线段AB有公共点的a的范围，再由圆心到直线y=ax的距离小于等于圆的半径得到实数a的取值范围，取交集后得答案．

解答： 解：∵圆C：（x-a）²+y²=1的圆心C（a，0）在x轴上，且圆的半径等于1，
当圆心在A点左侧时，点A，B所在直线方程为x+y-1=0，
由圆心（a，0）到直线x+y-1=0的距离等于1，
得

|a-1|

2

=1，
即|a-1|=

2

，解得a=1-

2

或a=1+

2

（舍），
当圆心在A的右侧时，圆交线段AB于A时，a有最大值，此时a=2．
∴圆C：（x-a）²+y²=1与线段AB有公共点的a的范围是[1-

2

，2]．
要使圆C：（x-a）²+y²=1与直线l：y=ax有公共点，则

|a2|

a2+1

≤1，
即a⁴≤a²+1，
∴a⁴-a²-1≤0，
解得：0≤a2≤

1+ 5

2

，
∴-

1+ 5 2

≤a≤

1+ 5 2

．
∴圆C既与线段AB又与直线l有公共点d的实数a的取值范围是[1-

2

，

1+ 5 2

]．
故答案为：[1-

2

，

1+ 5 2

]．

点评：本题考查了直线与圆的方程的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用圆心和直线的距离判断直线与圆的位置关系，属中档题．