Question

已知幂函数f(x)的图象过点(，2)且幂函数g(x)＝x ^m2－2m－2 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称．

(1)求f(x)、g(x)的解析式；

(2)当x为何值时①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；

③f(x)<g(x)．

Answer 1

 (1)设f(x)＝x^α，∵f(x)的图象过点(，2)，

∴2＝()^α，∴α＝2，∴f(x)＝x²；

又g(x)＝x ^m2－2m－2的图象与x轴、y轴都无公共点，

∴m²－m－2≤0，∴－1≤m≤2.

∵m∈Z，∴m＝0或±1或2，当m＝0或1时，g(x)＝x^－2是偶函数，图象关于y轴对称，当m＝－1或2时，y＝x⁰也满足，故g(x)＝x^－2或g(x)＝x⁰.

(2)若g(x)＝x⁰＝1，则由f(x)>g(x)得，x²>1，

∴x>1或x<－1.

故x>1或x<－1时，f(x)>g(x)，x＝±1时，f(x)＝g(x)，－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．

若g(x)＝x^－2，则由f(x)>g(x)得，x²>，∴x⁴>1，∴x>1或x<－1，故当x>1或x<－1时，有f(x)>g(x)；当x＝±1时，f(x)＝g(x)；当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．

综上知，x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；x＝±1时，f(x)＝g(x)；－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x).