Question

20．已知函数f（x）=sin2x-cos2x．
（Ⅰ）求证：f（$\frac{7}{4}$π-x）=f（x）；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得$\frac{f（x）+2}{k}-1=0$有解，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若x∈（0，$\frac{5π}{8}$）时，函数g（x）=f²（x）-2mf（x）+1有四个不同零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用三角函数的诱导公式证明；
（Ⅱ）由f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$求得f（x）的范围，再由$\frac{f（x）+2}{k}-1=0$有变形可得实数k的取值范围；
（Ⅲ）令t=f（x），得t∈（-1，$\sqrt{2}$]，函数g（x）=f²（x）-2mf（x）+1有四个不同零点等价于h（t）=t²-2mt+1在t∈（0，$\sqrt{2}$]有两个不同的零点，然后利用根的分布得到关于m的不等式组求解．

解答 （Ⅰ）证明：∵f（$\frac{7}{4}$π-x）=sin（$\frac{7π}{2}-2x$）-cos（$\frac{7π}{2}-2x$）
=sin2x-cos2x，
∴f（$\frac{7}{4}$π-x）=f（x）；
（Ⅱ）解：f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴2x$-\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]，则$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$∈[-1，1]．
$\frac{f（x）+2}{k}-1=0$，即k=f（x）+2∈[1，3]；
（Ⅲ）解：令t=f（x），
∵x∈（0，$\frac{5π}{8}$），∴t∈（-1，$\sqrt{2}$]，
函数g（x）=f²（x）-2mf（x）+1有四个不同零点等价于
h（t）=t²-2mt+1在t∈（0，$\sqrt{2}$]有两个不同的零点．
由根的分布知识可得：$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4＞0}\\{0＜m＜\sqrt{2}}\\{h（0）=1＞0}\\{h（\sqrt{2}）=2-2\sqrt{2}m+1＞0}\end{array}\right.$，
解得：1＜m＜$\frac{3}{4}\sqrt{2}$．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法，训练了由一元二次方程根的分布求解参数问题，是中档题．