题目内容
9．
如图，设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为右焦点．直线y=6x与C的交点到y轴的距离为 $\frac{2}{7}$，过点B作x轴的垂线l，D为l 上异于点B的一点，以BD为直径作圆E．（1）求C 的方程；
（2）若直线AD与C的另一个交点为P，证明PF与圆E相切．
分析 （1）由已知椭圆离心率可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，联立直线方程与椭圆方程求出交点横坐标可得c，则椭圆方程可求；
（2）求出椭圆焦点坐标，设圆E的圆心为（2，t）（t≠0），则D（2，2t），则圆E的半径R=t．写出AD所在直线方程，与椭圆方程联立，求得P点坐标，得到PF所在直线方程，由点E（2，t）到直线PF的距离为圆的半径得答案．
解答 （1）解：由题意可知，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴a=2c，
又a2=b2+c2，则b2=3c2．
设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=6x}\\{\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{2c}{7}=\frac{2}{7}$，∴c=1，a=2，b2=3．
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：由（1）可得F（1，0），设圆E的圆心为（2，t）（t≠0），则D（2，2t），
则圆E的半径R=t．
直线AD的方程为y=$\frac{t}{2}（x+2）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{2}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+t2）x2+4t2x+4t2-12=0．
由$（-2）{x}_{P}=\frac{4{t}^{2}-12}{3+{t}^{2}}$，得${x}_{P}=\frac{6-2{t}^{2}}{3+{t}^{2}}$，${y}_{P}=\frac{t}{2}（{x}_{P}+2）=\frac{6t}{3+{t}^{2}}$．
直线PF的方程为$y=\frac{\frac{6t}{3+{t}^{2}}}{\frac{6-2{t}^{2}}{3+{t}^{2}}}（x-1）=\frac{2t}{1-{t}^{2}}（x-1）$，
即2tx+（t2-1）y-2t=0．
∵点E（2，t）到直线PF的距离为d=$\frac{4t+t（{t}^{2}-1）-2t}{\sqrt{4{t}^{2}+（{t}^{2}-1）^{2}}}=\frac{{t}^{3}+t}{\sqrt{（{t}^{2}+1）^{2}}}=t$，
∴直线PF与圆E相切．
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
如图，在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PB⊥AB．
我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）| ① | ② | ③ | |
| A | i≤7？ | s=s-$\frac{1}{i}$ | i=i+1 |
| B | i≤128？ | s=s-$\frac{1}{i}$ | i=2i |
| C | i≤7？ | s=s-$\frac{1}{2i}$ | i=i+1 |
| D | i≤128？ | s=s-$\frac{1}{2i}$ | i=2i |
| A． | A | B． | B | C． | C | D． | D |
| A． | 2-i | B． | 2+i | C． | -2-i | D． | -2+i |