Question

6．椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点为F₁、F₂，P为椭圆上的一点，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|•|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$=8．

Answer 1

分析 根据椭圆的定义及椭圆标准方程求得到|PF₁|+|PF₂|=2a=6，由∠F₁PF₂=90°可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=（2c）²=20，两边平方即可求得|PF₁|•|PF₂|．

解答 解：∵椭圆方程：圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，
∴a²=9，b²=4，可得c²=a²-b²=5，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，∵∠F₁PF₂=90°，可得PF₁⊥PF₂，
m+n=6，m²+n²=20
∴36=20+2mn
得2mn=16，即mn=8，
∴|PF₁|•|PF₂|=8．
故答案为：8

点评 本题考查椭圆的焦点三角形为直角三角形的性质，考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等应用，属于中档题．