Question

11．设实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$
（1）求$u=\frac{y}{x}$的取值范围；
（2）求z=x²+y²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据约束条件画出可行域，根据$u=\frac{y}{x}$的几何意义求最值，
（2）根据z=x²+y²的几何意义是可行域上的点到原点距离的平方，即可求出最值．

解答 解：（1）满足y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$
约束条件的平面区域如图所示，A（1，2），B（4，2），C（3，1），
（1）$u=\frac{y}{x}$的几何意义可行域上的点是到原点的斜率；
当直线为OA时，u有最大值为2；
当直线为OC时，u有最小值为$\frac{1}{3}$；所以，$u∈[\frac{1}{3}，2]$
（2）z=x²+y²的几何意义是可行域上的点到原点距离的平方；z=x²+y²的最大值为|OB|²=20，
最小值为O到直线AC的距离的平方，为5；
所以，z∈[5，20]

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．