Question

已知函数f（x）=x²-2（a+2）x+a²，g（x）=-x²+2（a-2）x-a²+8．设H₁（x）=max{f（x），g（x）}，H₂（x）=min{f（x），g（x）}，（其中max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值）．记H₁（x）的最小值为A，H₂（x）的最大值为B，则A-B=（　　）

• A、a²-2a-16
• B、a²+2a-16
• C、-16
• D、16

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：解法一：在同一坐标系中画出f（x）与g（x）的图象，由图象及H₁（x）的定义知H₁（x）的最小值是f（a+2），H₂（x）的最大值为g（a-2），进而可得答案．
解法二：先作差得到h（x）=f（x）-g（x）=2（x-a）²-8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H₁（x），H₂（x）．进而得出A，B即可．

解答： 解：f（x）=g（x），
即x²-2（a+2）x+a²=-x²+2（a-2）x-a²+8，
即x²-2ax+a²-4=0，
解得x=a+2或x=a-2．
f（x）与g（x）的图象如图．
由图象及H₁（x）的定义知H₁（x）的最小值是f（a+2），
H₂（x）的最大值为g（a-2），
A-B=f（a+2）-g（a-2）
=（a+2）²-2（a+2）²+a²+（a-2）²-2（a-2）²+a²-8=-16．
解法二：令h（x）=f（x）-g（x）=x²-2（a+2）x+a²-[-x²+2（a-2）x-a²+8]=2x²-4ax+2a²-8=2（x-a）²-8．
①由2（x-a）²-8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；
②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a-2，此时f（x）＞g（x）；
③由h（x）＜0，解得a-2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．
综上可知：（1）当x≤a-2时，则H₁（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x-（a+2）]²-4a-4，
H₂（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=-[x-（a-2）]²-4a+12，
（2）当a-2≤x≤a+2时，H₁（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H₂（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（3）当x≥a+2时，则H₁（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），
H₂（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
故A=g（a+2）=-[（a+2）-（a-2）]²-4a+12=-4a-4，B=g（a-2）=-4a+12，
∴A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16．
故选C．

点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．