Question

已知函数f（x）=x²+

a

x

，（x≠0，a∈R）
（1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知a=16，用定义法证明f（x）在[2，+∞）是单调递增的．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）讨论当a=0时，当a≠0时，运用函数的奇偶性的定义，即可判断；
（2）运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤．

解答： （1）解：当a=0时，f（x）=x²，此时f（x）为偶函数；
当a≠0时，f（-x）=（-x）²+

a

-x

=x²-

a

x

f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
则f（x）不为奇函数也不是偶函数；
（2）证明：由a=16，得f（x）=x²+

16

x

．
取任意的m，n∈[2，+∞），且m＜n，f（m）-f（n）=m²+

16

m

-n²-

16

n

=（m-n）（m+n）+

16(n-m)

mn

=（m-n）[（m+n）-

16

mn

]，
由于2≤m＜n，则m-n＜0，m+n＞4，mn＞4，则

16

mn

＜4，m+n-

16

mn

＞0，
故f（m）-f（n）＜0，也即f（m）＜f（n），
所以f（x）在[2，+∞）上是单调递增的．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．