Question

下列几个命题
①方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0．
②函数y=

x2-1

+

1-x2

是偶函数，但不是奇函数．
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]．
④设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于y轴对称．
⑤设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则f(-

5

2

)=-

1

2

其中正确的有

 

（把你认为正确的序号全写上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根?

△=(a-3)2-4a＞0 a＜0

，解得即可；
②要使函数有意义，必需

x2-1≥0 1-x2≤0

，解出即可判断出；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）是将函数f（x）的图象向左平移一个单位得到的，即可判断出．
④举例f（x）=x，则f（1-x）=1-x，f（x-1）=x-1，即可判断出；
⑤利用函数的奇偶性、周期性可得f(-

5

2

)=f(-

1

2

)=-f(

1

2

)，代入计算即可．

解答： 解：①方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，由判别式及其根与系数的关系可得：

△=(a-3)2-4a＞0 a＜0

，解得a＜0，因此正确；
②要使函数y=

x2-1

+

1-x2

有意义，则

x2-1≥0 1-x2≤0

，解得x=±1．
∴y=0，
可知：此函数既是偶函数，又是奇函数．
因此②不正确．
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域仍然为[-2，2]，因此③不正确．
④设函数y=f（x）定义域为R，取f（x）=x，则f（1-x）=1-x，f（x-1）=x-1，
则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于y轴不对称，因此不正确．
⑤设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则f(-

5

2

)=f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=-2×

1

2

(1-

1

2

)=-

1

2

，即f(-

5

2

)=-

1

2

正确．
综上可知：只有①⑤正确．
故答案为：①⑤．

点评：本题综合考查了函数的性质、一元二次方程实数根与判别式的关系，属于中档题．