Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，分别为椭圆C：的左右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆C上，不在轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形的周长为.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M，N，线段MN的中点为G，已知点在圆上，求的最大值，并判断此时ΔOMN的形状.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为，ΔOMN是直角三角形

【解析】

（1）题中先求得的坐标，即，可利用离心率和点在椭圆上　结合解得，动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形的周长为.可得点轨迹是椭圆，且长轴长已知，焦距已知，只要再求得短半轴长即得，注意方程中；

（2）由用点都在椭圆上可求得，用两点间距离公式表示出，代入和，并利用基本不等式可求得最大值．根据取得最大值时的条件得是直角三角形．

（1）设点，的坐标分别为，

由已知可知，又，所以可得，则，

连接PQ，因为，OP=OQ，所以四边形为平行四边形.

因为四边形的周长为，所以，

所以动点P的轨迹是以点，分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆（除去左、右顶点），可得动点P的轨迹方程为

（2）因为，，，所以，

所以

.

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为，此时，即，即是直角三角形．