Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，点E在BC上，．

（1）求证：平面平面PAC；

（2）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PED⊥平面PAC．

（2）求出平面PAC的一个法向量和平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，

平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊥AB，

∴PA⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），设P（0，0，λ），λ＞0，

则（2，4，0），（0，0，﹣2），（2，﹣1，0），

∴4﹣4+0＝0，0，

∴DE⊥AC，DE⊥AP，

∵AC∩AP＝A，∴DE⊥平面PAC，

∵DE平面PED，∴平面PED⊥平面PAC．

解：（2）由（1）知平面PAC的一个法向量为

（2，﹣1，0），

∵直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，

（2，1，﹣λ），

∴|cos|＝||，

解得λ＝±2，

∵λ＞0，∴λ＝2，即P（0，0，2），

设平面PCD的一个法向量为（x，y，z），

（2，2，0），（0，﹣2，2），

∴，取x＝1，得（1，﹣1，﹣1），

∴cos，

∵二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，

∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．