Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）＝｜x﹣m｜+｜x｜，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．

（1）求实数m的值；

（2）若α≥1，β≥1，f（α）+f（β）＝4，求证：≥3．

Answer 1

【答案】（1）m＝1；（2）见证明

【解析】

（1）要使不等式有解，则，再由，能求出实数的值；

（2）先求出，从而，由此利用基本不等式，即可作出证明．

(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|，

所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，

解得－2<m<2.因为m∈N*，所以m＝1.

(2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，

即α＋β＝3，

所以

当且仅当，即α＝2，β＝1时等号成立，

故≥3.