Question

已知函数f（x）=

1

2

x2-alnx（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围；
（3）当a=1时，探究当x∈（1，+∞）时，函数y=f（x）的图象与函数h（x）=

1

2

x2-x+1图象之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

(x＞0)，讨论导数的正负以确定函数的单调性及极值；
（2）求导g′（x）=x-

a

x

+2=

x2+2x-a

x

（x＞0），令h（x）=x²+2x-a，（x＞0）；从而转化为h（1）h（e）＜0，从而求a的取值范围；
（3）先判断在区间（1，+∞）上，函数y=f（x）的图象总在函数h(x)=

1

2

x2-x+1图象的上方．再转化为恒成立问题证明．

解答： 解：（1）f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

(x＞0)，
若a≤0，则f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增；
若a＞0，则由f'（x）＞0，得x＞

a

，由f'（x）＜0，得0＜x＜

a

；
此时增区间为(

a

，+∞)，减区间为(0，

a

)．
当a＞0时，显见x=

a

为极小值点，极小值为f(

a

)=

a

2

(a-lna)；
当a≤0时，无极值．
（2）g′（x）=x-

a

x

+2=

x2+2x-a

x

（x＞0），
设h（x）=x²+2x-a，（x＞0）；
若g（x）在[1，e]上不单调，
则h（1）h（e）＜0，
即（3-a）（e²+2e-a）＜0；
即3＜a＜e²+2e；
同时g（x）仅在x=e处取得最大值，
∴g（e）＞g（1），即可得出：a＜

e2

2

+2e-

5

2

，
故a的范围：（3，

e2

2

+2e-

5

2

）．
（3）在区间（1，+∞）上，函数y=f（x）的图象总在函数h(x)=

1

2

x2-x+1图象的上方．证明如下，
即证：当x＞1，f（x）＞h（x），即lnx+1＜x．
设m（x）=lnx+1-x，显见，m′(x)=

1

x

-1＜0，
有m（x）在（1，+∞）减，
所以m（x）＜m（1）=0，
即在区间（1，+∞）上，函数y=f（x）的图象总在函数h(x)=

1

2

x2-x+1图象的上方．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了构造函数的方法应用，属于难题．