Question

设实部为正数的复数z，满足|z|=

10

，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
（1）求复数z；
（2）若

.

z

+

m-i

1+i

（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算,复数求模

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由条件可得a²+b²=10①，a=-3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值．
（2）根据若

.

z

+

m-i

1+i

（m∈R）为纯虚数，可得

m+5 2 =0 1-m 2 ≠0

，由此求得m的值．

解答： 解：（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由|Z|=

10

得：a²+b²=10①．
又复数（1+2i）z=（a-2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，
则a-2b=2a+b，即a=-3b②．
由①②联立的方程组得a=3，b=-1；或a=-3，b=1．
∵a＞0，∴a=3，b=-1，则Z=3-i．
（2）∵

.

Z

+

m-i

1+i

=3+i+

(m-i)(1-i)

2

=

m+5

2

+

1-m

2

i 为纯虚数，∴

m+5 2 =0 1-m 2 ≠0

，
解得m=-5．

点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．