Question

已知椭圆C的两个焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），点M是椭圆C上的动点，且MF₁?MF₂的最大值为25．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知有一定点N（2，0），求MN的最小值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆的定义可知，MF₁+MF₂=2a，再由基本不等式求出MF₁•MF₂的最大值a²，再由a，b，c的关系，即可得到方程；
（2）令M（5cosα，4sinα），运用两点间的距离公式，化简三角函数，并配方结合余弦函数的值域，即可切得最小值．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则c=3，MF₁+MF₂=2a，MF₁•MF₂≤（

MF1+MF2

2

）²=a²，
当且仅当MF₁=MF₂，取最大值a²，
则a²=25，b²=a²-c²=16．
则椭圆C的方程

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）令M（5cosα，4sinα），由于N（2，0），
MN=

(5cosα-2)2+16sin2α

=

9cos2α-20cosα+20

=

9(cosα- 10 9 )2+ 80 9

，
由于

10

9

∉[-1，1]，
则cosα=1时，MN取最小值3．

点评：本题考查椭圆的标准方程和定义，以及参数方程的运用，考查基本不等式的运用和三角函数的最值求法，属于中档题．