Question

己知如图，四棱锥P-ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC=120°．又PC⊥平面ABCD，PC=a．E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面ABCD：
（Ⅱ）求三棱锥V_P-BED的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明面面垂直一般利用面面垂直的判定定理故可连接EO可利用中位线定理证得EO∥PC再结合PC⊥平面ABCD可得EO⊥平面ABCD即可得证．
（Ⅱ）利用等体积转换，即可求三棱锥V_P-BED的体积．

解答： （Ⅰ）证明：连结AC交BD于点O，连结OE，则O是AC的中点．
又知E是AP中点
∴EO∥PC，
∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
又知OE?平面BDE，
∴平面EBD⊥平面ABCD
（Ⅱ）解：V_P-BED=V_D-BEP=

1

2

V_P-BEA=

3

12

a³．

点评：本题主要考查了利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，考查体积的计算，属于中档题．