Question

已知椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B在椭圆上．BC⊥x轴，点C在x轴正半轴上．如果△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c，其它的面积S满足5S=b²-（a²-c²），则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  5

• C、

  2

  2

• D、

  2

  4

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：取特殊值，令C与F重合，得到a=

n2

m

，b=m+c，由此利用已知条件结合勾股定理得到

n2 m

m+c

=

4

5

，从而能求出椭圆的离心率．

解答：解：∵椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）的左顶点为A，右焦点为F，
点B在椭圆上．BC⊥x轴，点C在x轴正半轴上．
∴取特殊值，如图，令C与F重合，
则a=

n2

m

，b=m+c，
∵△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c，
它的面积S满足5S=b²-（a²-c²），
∴5S=b²-a²+a²+b²=2b²，
∵S=

1

2

ab，∴

5

2

ab=2b2，∴

a

b

=

4

5

，
∴

n2 m

m+c

=

4

5

，
整理，得4m²+4mc=5n²=5（m²-c²），
∴4mc+5c²=m²，∴5e²+4e-1=0，
解得e=

1

5

或e=-1（舍）．
故选：B．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时恰当地运用特殊值法，是快速解答选择题的好办法．