Question

5．已知x＞0，y＞0且lg（x²+y²-4）≤0，则|2x+y-10|的取值范围是[5，8）．

Answer 1

分析 由题意可得点（x，y）表示圆环在第一象限的部分（如图阴影），令t=2x+y-10，则y=-2x+t+10，即t+10表示直线的截距，数形结合可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0且lg（x²+y²-4）≤0，
∴0＜x²+y²-4≤1，即4＜x²+y²≤5（x＞0，y＞0），
故点（x，y）表示圆环在第一象限的部分（如图阴影），
令t=2x+y-10，则y=-2x+t+10，即t+10表示直线的截距，
数形结合可得当直线y=-2x经过点A（0，2）时t+10取最小值2，此时t=-8，
当直线y=-2x与圆x²+y²=5相切时t+10取最大值5，此时t=-5，
故t的取值范围为（-8，-5]，故|2x+y-10|的取值范围为[5，8），
故答案为：[5，8）．

点评 本题考查式子的取值范围，数形结合是解决问题的关键，属中档题．