Question

给出下列四个命题，其错误的是
①已知q是等比数列{a_n}的公比，则“数列{a_n}是递增数列”是“q＞1”的既不充分也不必要条件．
②若定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，则对定义域内的任意x必有f（2x+1）+f（-2x-1）=0．
③若存在正常数p满足f(px)=f(px+

p

2

)，则f（x）的一个正周期为

p

2

．
④函数y=f（x+1）与y=f（1-x）图象关于x=1对称．（　　）

• A、②④
• B、④
• C、③
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：必须对选项加以一一判断：对①运用充分必要条件定义推断；对②运用函数的奇偶性定义考虑；对③运用函数的周期概念解决；对④由图象的对称性可得．

解答： 解：对①因为q是等比数列{a_n}的公比，若q＞1，则推不出“数列{a_n}是递增数列”，因为a₁可以＜0，若“数列{a_n}是递增数列”，也推不出q＞1，可以0＜q＜1，a₁＜0，所以①对；
  对②，因为定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，f（-x）+f（x）=0都成立，
即f（-2x-1）+f（2x+1）=0，所以②对；
 对③，因为存在正常数p满足f(px)=f(px+

p

2

)，则令px=t，则f（t）=f（t+

p

2

），故f（x）的一个正周期为

p

2

，所以③对；
 对④，可令1+x=t，则x=t-1，函数y=f（x+1）与y=f（1-x）即为函数y=f（t）与y=f（2-t），则它们关于直线t=1对称，即x=0对称，所以④错．
 故选：B

点评：本题主要考查充分必要条件的判断和函数的奇偶性和周期性以及函数图象的对称问题，注意定义的运用和换元思想的运用，本题是一道中档题．