Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，$AD=CD=\sqrt{7}$，$PA=\sqrt{3}$，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（1）若G是PC的中点，
①求证：PA∥平面GBD
②求DG与平面APC所成的角的正切值；
（2）若G满足PC⊥面GBD，求$\frac{PG}{GC}$的值．

Answer 1

分析 （1）①设AC交BD于O，连接MO，推导出PA∥GO，由此能证明PA∥平面BGD．
②推导出PA⊥DO，AC⊥DO，则∠DGO为直线DG与平面PAC所成的角，由此能求出DG与平面APC所成的角的正切值．
（2）若PC⊥面GBD，则PC⊥GO，由△GCO∽△PAC，能求出结果．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）①在底面ABCD中，设AC交BD于O，连接MO，
由已知知：AC⊥BD，且O为AC中点，…（1分）
在△PAC中，G为PC中点，O为AC中点，
∴PA∥GO，PA?平面BGD，GO?平面BGD，
∴PA∥平面BGD．…（4分）
解：②PA⊥平面ABCD，DO?平面ABCD，∴PA⊥DO，
又AC⊥DO，PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，…（6分）
故∠DGO为直线DG与平面PAC所成的角，…（7分）
在△ABC中，AO=$\sqrt{3}$，在Rt△ADO中，DO=2，又GO=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△DGO中，tan∠DGO=$\frac{GO}{DO}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴DG与平面APC所成的角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…（9分）
解：（2）若PC⊥面GBD，则PC⊥GO，
由△GCO∽△PAC…（10分）
解得：$GC=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，∴$\frac{PG}{GC}=\frac{3}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．