题目内容

空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大．根据国家标准，指数在0-50之间时，空气质量为优；在51-100之间时，空气质量为良；在101-150之间时，空气质量为轻度污染；在151-200之间时，空气质量为中度污染；在大于200时，空气质量为重度污染．环保部门对某市5月1日至5月15日空气质量指数预报如下表：
日  期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
空气质量指数 75 56 26 156 230 163 88 210 206 201 78 98 105 97 93
某人选择5月1日至5月13日某一天到达该市，并停留三天．
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）根据上表判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大（不要求计算，只写出结果）．
考点：极差、方差与标准差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）根据表中数据可得空气质量为重度污染的天数，求出此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）列出此人在该市停留期间空气质量优良天数统计表，计算随机变量X的概率分布列，求出数学期望；
（Ⅲ）由方差的概念得出从5月3日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
解答： 解：（Ⅰ）记事件A为此人到达当日空气重度污染，则由表中数据可得空气质量为重度污染的天数是3，
所以，此人到达当日空气重度污染的概率是P(A)=
4
13
；
（Ⅱ）此人在该市停留期间空气质量优良天数统计如下表：
到达日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
空气质量优良天数 3 2 1 0 1 1 1 0 1 2 2 2 2
所以随机变量X的概率分布如下：
X 0 1 2 3
P
2
13
5
13
5
13
1
13
所以EX=0×
2
13
+1×
5
13
+2×
5
13
+3×
1
13
=
18
13
；
（Ⅲ）因为方差是表示数据波动大小的量，数据波动越大，方差就越大；
所以，从5月3日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
点评：本题考查了概率统计的基本运算以及求随机变量的分布列问题，解题时应根据题目中的数据，合理解答，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b∈R+，且（1+ai）（b+i）=5i（i是虚数单位），则a+b=（　　）
A、
2
B、2
2
C、2
D、4
若a，b∈R，i为虚数单位，且a+bi=
1-i
2i
，则（　　）
A、a=-
1
2
，b=
1
2
B、a=-
1
2
，b=-
1
2
C、a=
1
2
，b=-
1
2
D、a=
1
2
，b=
1
2
已知圆C：（x-3）2+y2=5与抛物线y2=2px（p＞0）在x轴上方交于A，B两点，
（1）求实数p的取值范围；
（2）若∠ACB=90°，求实数p的值．
如图，△ABC在平面α内，∠ACB=90°，AB=2BC=2，P为平面α外一个动点，且PC=
3
，∠PBC=60°
（Ⅰ）问当PA的长为多少时，AC⊥PB．
（Ⅱ）当△PAB的面积取得最大值时，求直线BC与平面PAB所成角的大小．
计算：
(1+i)2006
(-
1
2
+
3
2
i)6
+
21003
i2015
．
设全集U={2，3，5，7，11，13，17，19}，A∩B={3，5}，∁UA={7，19}，求集合A、B．
设函数f（x）=
ex
1+ax
，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．
如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上任一点．
（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）设
SE
=λ
EB
，当平面EDC⊥平面SBC时，求λ的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角A-DE-C的大小．

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