Question

20．已知函数f（x+$\frac{1}{2}$）为奇函数，g（x）=f（x）+1，即a_n=g（$\frac{n}{16}$），则数列{a_n}的前15项和为（　　）

• A． 13
• B． 14
• C． 15
• D． 16

Answer 1

分析 函数f（x+$\frac{1}{2}$）为奇函数，可得f（-x+$\frac{1}{2}$）=-f（x+$\frac{1}{2}$），即f（x）+f（1-x）=0．由g（x）=f（x）+1，可得g（x）+g（1-x）=2，即可得出a_n=g（$\frac{n}{16}$）前15项的和．

解答 解：∵函数f（x+$\frac{1}{2}$）为奇函数，
∴f（-x+$\frac{1}{2}$）=-f（x+$\frac{1}{2}$），
∴f（x）+f（1-x）=0，
∵g（x）=f（x）+1，
∴g（x）+g（1-x）=f（x）+1+f（1-x）+1=2，
即a_n=g（$\frac{n}{16}$），
则数列{a_n}的前16项和=$g（\frac{1}{16}）+g（\frac{2}{16}）$+…+$g（\frac{15}{16}）$
=$[g（\frac{1}{16}）+g（\frac{15}{16}）]$+$[g（\frac{2}{16}）+g（\frac{14}{16}）]$+…+$[g（\frac{7}{16}）+g（\frac{9}{16}）]$+$g（\frac{8}{16}）$
=2×7+1
=15．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性、“分组求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．