Question

17．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴上端点为E，M（0，1）为线段OE的中点．
（1）求椭圆Γ的方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k_AC•k_BD=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
（i）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最值；
（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意，b=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由a²=b²+c²，联立即可得到a²、b²、c²，即可求椭圆Γ的方程；
（2）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设k_AC=k，由k_AC•k_BD=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，可得k_BD=-$\frac{1}{2k}$．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；
（ii）由椭圆的对称性可知S_{四边形ABCD}=4×S_△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到S_{四边形ABCD}²=4[|OA|²|OB|²-（$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$）²]，代入计算即可证明．

解答 （1）解：由题意，b=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=2，a=2$\sqrt{2}$，
∴椭圆Γ的方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设x₁＞0，x₂＞0．
设k_AC=k，∵k_AC•k_BD=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$_=-$\frac{1}{2}$，∴k_BD=-$\frac{1}{2k}$．
可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，y=--$\frac{1}{2k}$x．
联立椭圆．解得x₁=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，x₂=$\frac{4|k|}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1}{2}$x₁x₂=$\frac{4\sqrt{2}|k|}{1+2{k}^{2}}$≤2，当且仅当|k|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
可知：当x₁＞0，x₂＞0时，有最大值2．
当x₁＜0，x₂＜0．有最小值-2．
（ii）由椭圆的对称性可知S_{四边形ABCD}=4×S_△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．
∴S_{四边形ABCD}²=4[|OA|²|OB|²-（$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$）²]=4（x₁y₂-x₂y₁）²=4$（k+\frac{1}{2k}）^{2}（\frac{8\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}）^{2}$=128，
∴四边形ABCD的面积=8$\sqrt{2}$为定值，

点评 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．