Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（1，t），$\overrightarrow{b}$=（3t，2），f（t）=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{|\overrightarrow{a}|}^{2}{+|\overrightarrow{b}|}^{2}}$（t∈R）．
（1）判断f（t）的奇偶性；
（2）求f（t）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}，|\overrightarrow{a}{|}^{2}$及$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$的值，从而得出$f（t）=\frac{t}{2{t}^{2}+1}$，容易判断出f（t）为奇函数；
（2）可设$y=\frac{t}{2{t}^{2}+1}$，从而可整理成关于t的方程为2yt²-t+y=0，该方程有解，可讨论y是否为0：y=0时，可得出t=0，满足方程有解，而y≠0时，则有△=1-8y²≥0，可解出y的范围，从而便可得出f（t）的值域．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3t+2t=5t$，$|\overrightarrow{a}{|}^{2}={t}^{2}+1，|\overrightarrow{b}{|}^{2}=9{t}^{2}+4$；
∴$f（t）=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}=\frac{5t}{10{t}^{2}+5}=\frac{t}{2{t}^{2}+1}$；
f（t）的定义域为R，且$f（-t）=\frac{-t}{2{t}^{2}+1}=-f（t）$；
∴f（t）为奇函数；
（2）设$y=\frac{t}{2{t}^{2}+1}$，整理成关于t的方程：2yt²-t+y=0；
①y=0时，t=0；
②y≠0时，方程2yt²-t+y=0有解；
∴△=1-8y²≥0；
解得$-\frac{\sqrt{2}}{4}≤y≤\frac{\sqrt{2}}{4}$；
∴f（t）的值域为$[-\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}]$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，根据向量的坐标求向量的长度，以及奇函数的概念及判断方法和过程，将函数解析式整理成关于自变量的方程的形式，根据方程有解求函数的值域的方法，以及一元二次方程有解时，判别式△的取值情况．