Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N^*）均在函数y=3x-2的图象上．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）T_n是数列{$\frac{3}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}的前n项和，求使T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）：将点的坐标代入函数解析式，得到S_n=3n²-2n，再由a_n=S_n-S_n-1求得a_n解析式；
（2）：写出数列{$\frac{3}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}的通项公式，利用拆项法求得前n项和，根据不等式关系，求得m的值

解答 （1）证明：点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*）均在函数y=3x-2的图象上．
那么$\frac{{S}_{n}}{n}$=3n-2
∴S_n=3n²-2n
当n=1时，a₁=S₁=3-2=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）
=6n-5；
当n=1时满足，
∴a_n=6n-5
∴a_n是以1首项，以6为公比的等差数列a_n
（2）设${b}_{n}=\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
则${b}_{n}=\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{13}+…+\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{6n+1}）$
因此使$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{6\\;n+1}）＜\frac{m}{20}$$（\\;n∈N*）$成立的m，必须满足$\frac{1}{2}≤\frac{\\;m}{20}$，
即m≥10，
所以，满足要求的最小正整数m为10．

点评 本题考查了数列与函数的综合应用，用拆项法求数列前n项和以及数列与不等式综合应用问题，属于中档题．