Question

19．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-ae^x．
（1）当a=$\frac{1}{e}$时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在[e，+∞）上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（2）问题转化为f′（x）≤0在[e，+∞）上恒成立，求出f（x）的导数，通过讨论a的符号，求出a的范围即可．

解答 解：（1）当$a=\frac{1}{e}$时，函数$f（x）=\frac{lnx}{x}-\frac{e^x}{e}$，则${f^'}（x）=\frac{1-lnx}{x^2}-\frac{e^x}{e}$，
当0＜x＜1时，$\frac{1-lnx}{x^2}＞1$，$\frac{e^x}{e}＜1$，所以f′（x）＞0；
当x=1时，f′（x）=0；
当x＞1时，$\frac{1-lnx}{x^2}＜0$，$\frac{e^x}{e}＞0$，所以f′（x）＜0
所以f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
所以最大值为f（1）=-1．
（2）f（x）在[e，+∞）上为减函数，
即f′（x）≤0在[e，+∞）上恒成立，
则${f^'}（x）=\frac{1-lnx}{x^2}-a{e^x}=\frac{{1-lnx-a{x^2}{e^x}}}{x^2}$．
①当a≥0时，因为x∈[e，+∞），所以1-lnx≤0，-ax²e^x≤0，
所以f′（x）≤0，符合题意；
②当a＜0时，f′（e）=-ae^e＞0，
与f′（x）≤0在[e，+∞）上恒成立矛盾，不符合题意．
综合可知，a的取值范围是[0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．