Question

9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． 4
• D． $\frac{2+\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的位置关系，由勾股定理求出棱长，由三角形的面积公式求出几何体的表面积．

解答 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，
直观图如图所示：D是AB的中点，PC⊥平面ABC，PC=2，
且底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是1，
∵AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PC⊥平面ABC，
∴PC⊥AC，PC⊥BC，PC⊥AB，
由PC∩CD=C得，AB⊥平面PCD，
∴AB⊥PD，
且PD=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴该几何体的表面积S=$\frac{1}{2}×1×1+2×\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=4，
故选：C．

点评 本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．