Question

18．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3，（x＞0）}\\{6xcosπx-1，（x≤0）}\end{array}\right.$，g（x）=kx-1，（x∈R），若函数y=f（x）-g（x）在x∈（-2，4）内有3个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-6，4）
• B． [4，6）
• C． （5，6）∪{4}
• D． [5，6）∪{4}

Answer 1

分析 显然x=0为其中1个零点，当x≠0时，由f（x）=g（x）可得k=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}，x＞0}\\{6cosπx，x＜0}\end{array}\right.$，作出此函数的函数图象，根据图象得出k的范围．

解答 解：当x=0时，f（x）=g（x）恒成立，即x=0为y=f（x）-g（x）的一个零点．
∴y=f（x）-g（x）在（-2，0）∪（0，4）上有2个零点．
当x≠0时，令f（x）=g（x）得k=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}，x＞0}\\{6cosπx，x＜0}\end{array}\right.$，
作出y=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}，x＞0}\\{6cosπx，x＜0}\end{array}\right.$在（-2，0）∪（0，4）上的函数图象如图所示：

∴当-6＜k＜4时，k=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}，x＞0}\\{6cosπx，x＜0}\end{array}\right.$有两解，
∴k的取值范围是（-6，4）．
故选A．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．