Question

20．集合M={x∈R|e^x（2x-1）≤ax-a}，其中a＞0，若集合M中有且只有一个整数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{3}{4e}$，1）
• B． （$\frac{3}{2e}$，1）
• C． [$\frac{3}{2e}$，1）
• D． （$\frac{3}{2e}$，1]

Answer 1

分析 设g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，由题意知，存在唯一的整数x₀，使g（x₀）在直线y=ax-a的下方，利用导数研究函数g（x）的单调性，又直线y=ax-a恒过点（1，0），且斜率为a，结合图象可知，a≤$\frac{0-（-1）}{1-0}$=1，且a＞$\frac{{e}^{-1}（-2-1）-0}{-1-1}$=$\frac{3}{2e}$．即可得出．

解答 解：设g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，

由题意知，存在唯一的整数x₀，使g（x₀）在直线y=ax-a的下方，
∵g′（x）=e^x（2x+1），
∴当x＜-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，当x＞-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，
∴g_min（x）=g（-$\frac{1}{2}$）=-2${e}^{-\frac{1}{2}}$；
且g（0）=-1，g（1）=3e＞0，
直线y=ax-a恒过点（1，0），且斜率为a，
结合图象可知，
a≤$\frac{0-（-1）}{1-0}$=1，且a＞$\frac{{e}^{-1}（-2-1）-0}{-1-1}$=$\frac{3}{2e}$．
解得，$\frac{3}{2e}$＜a≤1．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．