Question

6．已知函数f（x）=|x-a|+|x-1|+2a．
（1）若f（2）≥0，求实数a的取值范围；
（2）若存在x∈R使得不等式f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，若f（2）≥0，则|2-a|+1+2a≥0，用零点分段讨论法分析可得$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{（a-2）+2a+1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{（2-a）+2a+1≥0}\end{array}\right.$，解可得a的取值范围，即可得答案；
（2）分析可得存在x∈R使得不等式f（x）＜0成立，即有f（x）_min＜0，即可得|a-1|+2a＜0，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，若f（2）≥0，则|2-a|+1+2a≥0，
则有$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{（a-2）+2a+1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{（2-a）+2a+1≥0}\end{array}\right.$，
解可得a≥2或-3≤a＜2，
所以a≤-3，
即a的取值范围是[-3，+∞）；
（2）存在x∈R使得不等式f（x）＜0成立，即有f（x）_min＜0，
f（x）=|x-a|+|x-1|+2a≥|a-1|+2a，即f（x）的最小值为|a-1|+2a，
则有|a-1|+2a＜0，
则有$\left\{\begin{array}{l}{1-a+2a＜0}\\{a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-1+2a＜0}\\{a≥1}\end{array}\right.$，
解可得a＜-1，
故a的取值范围是（-∞，-1）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．