Question

10．已知函数f（x）=lnx-x²与g（x）=x²$-\frac{2}{x}$-m的图象上存在关于原点对称的点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1-ln2]
• B． [0，1-ln2）
• C． （1-ln2，1+ln2]
• D． [1+ln2，+∞）

Answer 1

分析 令f（x）=-g（-x）有解可得m=lnx+$\frac{2}{x}$有解，求出h（x）=lnx+$\frac{2}{x}$（x＞0）的值域即可得出m的范围．

解答 解：由题意可知f（x）=-g（-x）有解，即方程lnx-x²=-x²-$\frac{2}{x}$+m有解，
即m=lnx+$\frac{2}{x}$有解．
设h（x）=lnx+$\frac{2}{x}$（x＞0），则h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴当x=2时，h（x）取得最小值h（2）=ln2+1．
∴h（x）的值域为[1+ln2，+∞）．
∴m的取值范围是[1+ln2，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了函数单调性判断与值域的计算，属于中档题．