Question

若直线y=x+b与曲线x=

1-y2

恰有一个公共点，则实数b的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：曲线x=

1-y2

 表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b与曲线x=

1-y2

恰有一个公共点，则实数b的取值范围．

解答： 解：曲线x=

1-y2

 即 x²+y²=1 （x≥0），表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），
如图：当直线经过点A（0，-1）时，求得b=-1；
当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得

|0-0+b|

2

=1，求得b=

2

（舍去），或 b=-

2

，
数形结合可得当直线y=x+b与曲线x=

1-y2

恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（-1，1]∪{-

2

}，
故答案为：（-1，1]∪{-

2

}．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．