Question

定义在[-1，1]上的偶函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
（I）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（I）利用偶函数的性质即可得出；
（II）通过换元，分类讨论利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，
∴f（-x）=

1

4-x

-

a

2-x

=4^x-a•2^x，
∴f（x）=f（-x）=4^x-a•2^x，x∈[0，1]．
（Ⅱ）∵f（x）=4^x-a•2^x，x∈[0，1]．
令t=2^x，t∈[1，2]，
∴g(t)=t2-a•t=(t-

a

2

)2-

a2

4

，
当

a

2

≤

3

2

，即a≤3，g(t)max=g(2)=4-.2a，
当

a

2

＞

3

2

，即a＞3时，g(t)max=g(1)=1-a，
综上：当a≤3时，f（x）最大值为4-2a；
当a＞3时，．f（x）最大值为1-a．

点评：本题考查了偶函数的性质、指数函数的单调性、二次函数的单调性，考查了换元法、分类讨论方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．