Question

已知向量

m

=（cosx，-1），

n

=（

3

sinx，cos²x），设函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）对称中心的坐标；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c-a，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示，二倍角公式，及两角差的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的对称中心，即可得到；
（2）方法一、运用余弦定理，化简得cosB≥

1

2

，求出B的范围，运用正弦函数的图象和性质，再求f（B）的范围；
方法二、运用正弦定理和三角公式，化简得cosB≥

1

2

，求出B的范围，运用正弦函数的图象和性质，再求f（B）的范围；

解答： 解：（1）f(x)=

m

•

n

=

3

sinxcosx-cos2x=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

=sin(2x-

π

6

)-

1

2

，
由 2x-

π

6

=kπ，k∈Z，得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z
∴f（x）对称中心的坐标为(

kπ

2

+

π

12

，-

1

2

)，(k∈Z)；
（2）解法一：∵2bcosA≤2c-a∴

b2+c2-a2

c

≤2c-a
∴b²+c²-a²≤2c²-ac∴ac≤c²+a²-b²
∴cosB≥

1

2

∴B∈(0，

π

3

]
∵f（B）=sin(2B-

π

6

)-

1

2

，B∈(0，

π

3

]
∴f(B)∈(-1，

1

2

]．
解法二：∵2bcosA≤2c-a
∴2sinBcosA≤2sinC-sinA
∴2sinBcosA≤2sin（A+B）-sinA
∴sinA≤2sinAcosB∴cosB≥

1

2

∴B∈(0，

π

3

]，
∵f（B）=sin(2B-

π

6

)-

1

2

，B∈(0，

π

3

]
∴f(B)∈(-1，

1

2

]．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，二倍角公式的运用，和差公式及正弦函数的对称中心和值域，同时考查解三角形的正弦定理和余弦定理及运用，属于中档题．