Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₁a₂a₃…a_n=n²（n＞1），求
（1）a₃+a₅；
（2）a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）在数列递推式中依次取n=2、3、4、5求得数列前几项，则答案可求；
（2）由数列递推式得到a₁a₂a₃…an-1=(n-1)2（n＞2），作商后验证a₂得答案．

解答： 解：（1）由a₁a₂a₃…a_n=n²（n＞1），且a₁=1得，
1×a₂=4，a₂=4，
1×4×a₃=9，a3=

9

4

，
1×4×

9

4

×a4=16，a4=

16

9

，
1×4×

9

4

×

16

9

×a5=25，a5=

25

16

．
∴a3+a5=

9

4

+

25

16

=

61

16

；
（2）由a₁a₂a₃…a_n=n²（n＞1），得
a₁a₂a₃…an-1=(n-1)2（n＞2），
两式作比得：an=

n2

(n-1)2

(n＞2)．
验证n=2时上式成立，
∴an=

1，n=1 n2 (n-1)2 ，n≥2

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了作商法求数列的通项公式，是中档题．