Question

15．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点P（-$\frac{π}{12}$，0），与点P相邻的最高点Q（$\frac{π}{6}$，2）．
（1）求φ和ω的值．
（2）当x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，求函数的值域．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的值域．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得当x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，求函数的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点P（-$\frac{π}{12}$，0），
与点P相邻的最高点Q（$\frac{π}{6}$，2），
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{12}$，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•（-$\frac{π}{12}$）+φ=0，∴φ=$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵当x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，1]，即函数的值域为[-2，1]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．