Question

3．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f'（x）＞0，设a=f（0），b=f（${\frac{1}{3}}$），c=f（3），则a，b，c的大小关系为c＞a＞b．

Answer 1

分析 根据已知中f（x）=f（2-x），可得：c=f（3）=f（-1），根据当x∈（-∞，1）时，（x-1）f'（x）＞0，可得x∈（-∞，1）时，函数为减函数，进而得到答案．

解答 解：∵f（x）=f（2-x），
∴c=f（3）=f（-1），
∴当x∈（-∞，1）时，x-1＜0，
若（x-1）f'（x）＞0，则f'（x）＜0，
故此时函数为减函数，
∵-1＜0＜$\frac{1}{3}$＜1，
∴f（-1）＞f（0）＞f（${\frac{1}{3}}$），
∴c＞a＞b，
故答案为：c＞a＞b．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数单调性的应用，难度中档．