Question

【题目】设抛物线，点， ，过点的直线与交于， 两点．

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明： ．

Answer 1

【答案】(1) y=或．

(2)见解析.

【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入抛物线方程求得点M的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；

(2)分直线l与x轴垂直、l与x轴不垂直两种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.

详解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．

所以直线BM的方程为y=或．

（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．

当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．

由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．

直线BM，BN的斜率之和为

．①

将， 及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得

．

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．

综上，∠ABM=∠ABN．