Question

已知，如图，AB是圆柱的母线，BC是圆柱底面圆的直径，D是圆柱底面圆上与B、C不重合的点，用＜MN，EF＞表示直线MN、EF的夹角．
（Ⅰ）在三棱锥A-BCD中，写出所有两棱的夹角（不写出具体的角度值）；
（Ⅱ）在三棱锥A-BCD中的六条棱中取两条棱，求这两条棱互相垂直的概率．

Answer 1

考点：等可能事件的概率,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题意列举可得15个角；
（Ⅱ）可得其中的5个角是直角，由等可能事件的概率公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得＜AD，AB＞，＜AB，AC＞，＜AC，AD＞，＜AB，CD＞，＜AB，BC＞，
＜AB，BD＞，＜AC，BC＞，＜AC，BD＞，＜AC，CD＞，＜AD，BD＞，
＜AD，CD＞，＜AD，BC＞，＜BC，BD＞，＜BC，CD＞，＜BD，CD＞．
共15个；
（Ⅱ）∵AB是圆柱的母线，∴＜AB，BC＞=

π

2

，＜AB，BD＞=

π

2

，＜AB，CD＞=

π

2

．
∵BC是圆柱底面圆的直径，∴＜BD，CD＞=

π

2

，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AD．
设“在三棱锥A-BCD中的六条棱中取两条棱，这两条棱互相垂直”为事件E，则P(E)=

5

15

=

1

3

．
∴在三棱锥A-BCD中的六条棱中取两条棱，这两条棱互相垂直的概率为

1

3

．

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及等可能事件的概率，属中档题．