Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+ax-(a+1)lnx在x=2处的切线与直线2x-y+10=0平行．
（1）求参变量a的值；
（2）求函数y=f（x）的极值及取得极值时x的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数在某点取得极值的条件

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，利用函数在x=2处的切线与直线2x-y+10=0平行，可得f′（2）=2，即可求参变量a的值；
（2）求导函数，确定函数在定义域内的单调性，即可求函数y=f（x）的极值及取得极值时x的值．

解答： 解：（1）由已知得直线2x-y+10=0的斜率是：2
∵f(x)=

1

2

x2+ax-(a+1)lnx，
∴f′（x）=x+a-

a+1

x

，
∴f′（2）=2+a-

a+1

2

=2，
∴a=1
（2）由（1）知，f(x)=

1

2

x2+x-2lnx（x＞0），
∴f′(x)=x+1-

2

x

，
令f′(x)=x+1-

2

x

=0，∴x=1，或x=-2（舍去）
∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增．
∴当x=1时，y=f（x）有极小值

3

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．