Question

已知函数f（x）=

x

1-|x|

（x∈（-1，1）），有下列结论：
（1）?x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）?m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
（3）?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）存在无数多个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三个零点
则其中正确结论的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数的值

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可．
（2）判断函数|f（x）|的奇偶性和最值即可判断．
（3）根据分式函数的性质判断函数的单调性．
（4）根据函数图象以及函数奇偶性的性质进行判断．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

1-|x|

，x∈（-1，1），
∴f（-x）=

-x

1-|-x|

=-

x

1-|x|

=-f（x），x∈（-1，1），
即函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立．∴（1）正确
（2）∵f（x）=

x

1-|x|

，x∈（-1，1）为奇函数，
∴|f（x）|为偶函数，
当x=0时，|f（0）|=0，
∴当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，当m＞0时，方程有两个不等实根，∴（2）错误．
（3）当x∈[0，1）时，f（x）=

x

1-|x|

=

x

1-x

≥0，为增函数．
当x∈（-1，0]时，f（x）=

x

1-|x|

=

x

1+x

≤0，为增函数．
综上函数f（x）在（-1，1）上为单调函数，且单调递增，
∴?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）成立，即（3）正确．
（4）由g（x）=f（x）-kx=0得f（x）=kx，
∴f（0）=0，即x=0是函数的一个零点，
又∵函数f（x）为奇函数，且在（-1，1）上单调递减，
∴可以存在无数个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3个零点，如图：
∴（4）正确．
故（1），（3），（4）正确．
故答案为：（1），（3），（4）

点评：本题主要考查分式函数的性质，利用函数奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键，综合性强，难度较大，本题的质量较高．