Question

19．已知函数f（x）=log₂$\frac{2x^2}{x^2+1}$（x＞0），若函数g（x）=f（x）²+m$|\begin{array}{l}{f（x）}\end{array}|$+2m+3有三个不同的零点，则实数m的最大值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． -$\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 先判断函数f（x）的单调性和取值范围，利用换元法，设|f（x）|=t，则函数g（x）=f（x）²+m$|\begin{array}{l}{f（x）}\end{array}|$+2m+3有三个不同的零点转化为对应方程有三个不同的实数解，即为t²+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，由此可得结论．利用根的分布进行求解即可．

解答 解：∵$\frac{2x^2}{x^2+1}$=$\frac{2（{x}^{2}+1）-2}{{x}^{2}+1}$=2-$\frac{2}{{x}^{2}+1}$，
∴当x＞0时y=$\frac{2x^2}{x^2+1}$为增函数，且y=$\frac{2x^2}{x^2+1}$∈（0，2），
则f（x）为增函数，且f（x）∈（-∞，1），
设t=f（x），则t＜1，
则函数g（x）=f（x）²+m$|\begin{array}{l}{f（x）}\end{array}|$+2m+3有三个不同的零点，等价为y=t²+m|t|+2m+3在t＜1时有三个不同的零点，
y=|f（x）|大致图象如图所示，
即方程|t|²+m|t|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t²+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，
设h（t）=t²+mt+2m+3，
①当有一个根为1时，h（1）=1²+m+2m+3=0，$m=-\frac{4}{3}$，此时另一根为$\frac{1}{3}$适合题意； 
②当没有根为1时，$\left\{\begin{array}{l}h（0）＞0\\ h（1）＜0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2m+3＞0\\{1^2}+m+2m+3＜0\end{array}\right.$，
∴$-\frac{3}{2}＜m＜-\frac{4}{3}$，
综上-$\frac{3}{2}$＜m≤-$\frac{4}{3}$；
∴实数m的最大值为的取值范围为-$\frac{4}{3}$；
故选：B．

点评 本题考查了复合函数的应用及方程的根与函数的零点的关系应用，考查运算能力，利用数形结合以及换元法和转化法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．