Question

若直线y=kx+2与曲线y=

x2-1 ，|x|＞1 1-x2 ，|x|≤1

恰有两个不同的交点，则k∈

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：数形结合,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：作出曲线y=

x2-1 ，|x|＞1 1-x2 ，|x|≤1

对应的函数图象，根据图象，即可求出k的取值范围．

解答： 解：曲线y=

x2-1 ，|x|＞1 1-x2 ，|x|≤1

对应的函数图象如图所示．
当直线y=kx+2与半圆相切时，k=±

3

满足题意；
当直线y=kx+2过（±1，0）时，k=±2满足题意；
|x|＞1时，y=

x2-1

为双曲线在x轴上方的部分，其渐近线为y=±x．
故当直线y=kx+2与渐近线平行时，k=±1，
∴-1＜k＜1时，直线与双曲线有两个不同的交点，
∴k∈{k|-1＜k＜1，或k=±

3

，或k=±2}．
故答案为：{k|-1＜k＜1，或k=±

3

，或k=±2}．

点评：本题给出动直线与曲线有两个不同的交点，求直线斜率k的取值范围，着重考查了曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想等知识，属于中档题．