题目内容

设符号
n
i=1
f（i）=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），令函数I（n）=
n
i=1
sin（i×
π
2
+
π
4
），L（n）=
n
i=1
cos（i×
2π
3
+
π
6
），则I（2013）+L（2014）=
 
．
考点：函数的值
专题：计算题
分析：易知y=sin（i×
π
2
+
π
4
）的周期T=4，y=cos（i×
2π
3
+
π
6
）的周期T=3，由周期性可得答案．
解答： 解：y=sin（i×
π
2
+
π
4
）的周期T=4，
∵sin（1×
π
2
+
π
4
）+sin（2×
π
2
+
π
4
）+sin（3×
π
2
+
π
4
）+sin（4×
π
2
+
π
4
）=
2
2
-
2
2
-
2
2
+
2
2
=0，且2013=4×503+1，
∴I（2013）=sin（1×
π
2
+
π
4
）+sin（2×
π
2
+
π
4
）+sin（3×
π
2
+
π
4
）+sin（4×
π
2
+
π
4
）+…+sin（2013×
π
2
+
π
4
）
=503×0+sin（2013×
π
2
+
π
4
）=
2
2
，
y=cos（i×
2π
3
+
π
6
）的周期T=3，
∵cos（1×
2π
3
+
π
6
）+cos（2×
2π
3
+
π
6
）+cos（3×
2π
3
+
π
6
）=-
3
2
+0+
3
2
=0，且2014=3×671+1，
∴L（2014）=cos（1×
2π
3
+
π
6
）+cos（2×
2π
3
+
π
6
）+cos（3×
2π
3
+
π
6
）+…+cos（2014×
2π
3
+
π
6
）
=671×0+cos（2014×
2π
3
+
π
6
）=-
3
2
，
∴I（2013）+L（2014）=
2
-
3
2
，
故答案为：
2
-
3
2
．
点评：本题考查函数值的求解、三角函数的周期性，考查学生的运算求解能力，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
求函数y=（
1
2
） 
-x2+2x+8
的单调性．
已知点A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积为-
3
4
．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）试判断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系，并说明理由；
（3）直线PM与椭圆的另一个交点为N，求△OPN面积的最大值（O为坐标原点）．
若直线y=kx+2与曲线y=
x2-1
，|x|＞1
1-x2
，|x|≤1
恰有两个不同的交点，则k∈
 
．
已知数列{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，若a1，a2，a5成等比数列，则a8=
 
．
（几何证明选讲） 如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=3，AC=3
3
，圆O的半径为
5
，则圆心O到AC的距离为
 
．
已知函数f（x）=
-
1
3
x+
1
6
，x∈[0，
1
2
]
2x3
x+1
，x∈(
1
2
，1]
，函数g（x）=acos
πx
2
-2a+
1
2
(a＜0)，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是
 
．
已知f（x）是2011次多项式，当n=0，1，…，2011时，f（n）=
n
n+1
．则f（2012）=
．
不等式|x+1|-|x-2|≥1解集是
 
．

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